Teoria dos Grafos.

A Teoria dos Grafos, tem sua origem nas recreações matemáticas e nos jogos, sendo possível atribuir a Euler a sua criação.
Atualmente, esta teoria está relacionada a muitas áreas, como por exemplo, Informática, Economia, Genética, entre outras. E por apresentar aplicações em diversos contextos, acaba se caracterizando como uma importante ferramenta matemática, que constitui um modelo matemático ideal para o estudo das relações entre objetos de qualquer tipo.
Grafos são assim chamados, pois derivam da palavra inglesa graph, que significa gráfico. Logo possuem esta denominação por poderem ser representados graficamente.

Um problema muito conhecido, é o Passeio de Euler e as Pontes de Königsberg.
Königsberg era uma cidade na antiga Prússia, onde existia um rio que passava pela cidade e que tinha uma ilha, e logo após passar por esta ilha se bifurcava em dois ramos. E ainda nesta região existiam sete pontes, como ilustra a figura abaixo.

O problema consistia no seguinte:
É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez em cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem?
Euller pensou geometricamente, para resolver esta questão, ou seja:
Há quatro porções de terra envolvidas, separadas umas das outras pelas águas do rio: N (norte), S (sul), A (ilha central), B (leste). A imagem abaixo representa as várias interligações entre essas porções de terra, e é um exemplo de grafo:

Um grafo admite um "Passeio de Euler", se existe neste grafo um caminho, do qual fazem parte todas as arestas do grafo. Isto significa que um ponto móvel pode passear pelas arestas do gráfico, percorrendo todas elas, passando somente uma vez través de cada uma.
Com isso, podemos enunciar resultados referentes a este passeio:
Se um grafo planar admite um passeio de Euler, começando e terminando num mesmo vértice, então todo vértice desse grafo tem ordem par.
Euler conseguiu chegar a alguma conclusão, devido a generalização obtida através de um modelo de grafos.
Este é apenas um dos muitos problemas, que podem ser modelados e resolvidos com a utilização de grafos.
O seguinte link, traz uma introdução sobre esta teoria, bem como exemplos e exercícios: http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf