O Problema das Abelhas.

Afirma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre as abelhas, que esses animais na construção de seus alvéolos, resolvem um problema de alta matemática.
Há nessa asserção certo exagero do escritor belga. O problema que as abelha resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os rescursos da matemática elementar.
Não nos importa, porém, saber se o problema é elementar ou transcendente, a verdade é que esses pequeninos e laboriosos insetos resolvem um interessantíssimo problema por um artifício que chega a deslumbrar a inteligência humana.
Todos sabem que a abelha constrói seus alvéolos para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. A abelha procura, portanto, obter uma forma de alvéolos que seja a mais econômica possível, isto é, que apresente maior volume para a menor porção de material empregado.
É preciso que a parede de um alvéolo sirva, também, ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria a um alvéolo.
Procuraram as abelhas uma forma prismática para os seus alvéolos. Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício são: o triangular, o quadrangular e o hexagonal. Foi este último que as abelhas escolheram. E sabem por quê? Porque dos três prismas regulares A, B e C construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

Eis o problema resolvido pelas abelhas :
Dados três prismas regulares da mesma altura A (triangular), B (quadrangular), C (hexagonal), tendo a mesma área lateral, qual é o que tem maior volume?

Uma vez determinada a forma dos alvéolos, era preciso fechá-los, isto é, determinar o meio mais econômico de cobrir os alvéolos.
A forma adotada foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é contituído de três losangos iguais (a adoção do fundo romboidal traz, sobre o de fundo plano, uma economia de um alvéolo em cada 50 que são construídos).
Maraldi, astrônomo do Observatório de Paris, determinou experimentalmente, com absoluta precisão, os ângulos desse losango e achou 109°28', para o ângulo obtuso, e 70°32', para o ângulo agudo.
O físico Réaumur, supondo que as abelhas eram guiadas na construção dos alvéolos por um princípio de economia, propôs ao geômetra alemão Koening, em 1739, o seguinte problema:
Entre todas as células hexagonais, com o fundo formado de três losangos, determinar a que seja contruída com a maior economia de material.
Koening, que não reconhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109°26' para o ângulo obtuso e 70°34' para o ângulo agudo.
A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por Koening era espantosa. Os geômetras concluíram que as abelhas cometiam, na construção de seus alvéolos, um erro de 2' no ângulo do losango de fechamento (essa diferença é tão pequena que só pode ser apreciada com auxílio de instrumento de precisão).
Concluíram os homens de ciência que as abelhas erravam mas entre o alvéolo que construíam e o alvéolo matematicamente certo havia uma diferença extremamente pequena.
Fato curioso! Alguns anos depois (1743), o geômetra Mac Laurin retomou novamente o problema e demonstrou que Koening havia errado e que o resultado era traduzido precisamente pelos valores dos ângulos dados por Maraldi - 109°28' e 70°32',
A razão estava, pois, com as abelhas.

Fonte: Texto retirado do Livro Matemática Divertida e Curiosa, de Malba Tahan.