Teoria dos Grafos.

A Teoria dos Grafos, tem sua origem nas recreações matemáticas e nos jogos, sendo possível atribuir a Euler a sua criação.
Atualmente, esta teoria está relacionada a muitas áreas, como por exemplo, Informática, Economia, Genética, entre outras. E por apresentar aplicações em diversos contextos, acaba se caracterizando como uma importante ferramenta matemática, que constitui um modelo matemático ideal para o estudo das relações entre objetos de qualquer tipo.
Grafos são assim chamados, pois derivam da palavra inglesa graph, que significa gráfico. Logo possuem esta denominação por poderem ser representados graficamente.

Um problema muito conhecido, é o Passeio de Euler e as Pontes de Königsberg.
Königsberg era uma cidade na antiga Prússia, onde existia um rio que passava pela cidade e que tinha uma ilha, e logo após passar por esta ilha se bifurcava em dois ramos. E ainda nesta região existiam sete pontes, como ilustra a figura abaixo.

O problema consistia no seguinte:
É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez em cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem?
Euller pensou geometricamente, para resolver esta questão, ou seja:
Há quatro porções de terra envolvidas, separadas umas das outras pelas águas do rio: N (norte), S (sul), A (ilha central), B (leste). A imagem abaixo representa as várias interligações entre essas porções de terra, e é um exemplo de grafo:

Um grafo admite um "Passeio de Euler", se existe neste grafo um caminho, do qual fazem parte todas as arestas do grafo. Isto significa que um ponto móvel pode passear pelas arestas do gráfico, percorrendo todas elas, passando somente uma vez través de cada uma.
Com isso, podemos enunciar resultados referentes a este passeio:
Se um grafo planar admite um passeio de Euler, começando e terminando num mesmo vértice, então todo vértice desse grafo tem ordem par.
Euler conseguiu chegar a alguma conclusão, devido a generalização obtida através de um modelo de grafos.
Este é apenas um dos muitos problemas, que podem ser modelados e resolvidos com a utilização de grafos.
O seguinte link, traz uma introdução sobre esta teoria, bem como exemplos e exercícios: http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf

Winplot.

O Winplot, é uma excelente ferramenta computacional para fazer gráficos 2D e 3D de maneira bem simples. No link abaixo segue uma espécie de manual para a utilização deste software:
http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html

Tendo o conhecimento a respeito desta ferramenta, é possível explorar diversas situações e conteúdos, para tudo vamos abordar as espirais.
Este formato, dnominado de espiral pode ser encontrado em vários ambientes na natureza, como por exemplo:

Na Matemática, existem também diversas formas de espiral, e é graças a Arquimedes que hoje podemos estudá-las. Por este motivo, batizaram uma determinada espiral de Espiral de Arquimedes:

Arquimedes fez muitas descobertas sobre a espiral. Ele deu um método para traçar tangentes à espiral, mostrou que com a ajuda da espiral, fica fácil dividir qualquer ângulo em três parte iguais, entre outras. Neste ponto, a utilização do Winplot, juntamente com suas ferramentas, possibilita a construção de espirais.
As espirais podem ser originadas por equações em coordenadas polares.
Mas, o que são coordenadas polares?
Iniciamos introduzindo o eixo polar: é uma semi-reta com origem em um ponto O, dito origem do sistema de coordenadas.
Com isto, podemos localizar qualquer ponto P do plano informando:

• a distância de P a O, que representamos por r;
•  o ângulo que a semi-reta OP forma com o eixo polar, que representamos por t.                      Feito isso, escrevemos P = (r, t)

Uma família de espirais tem equação polar geral assim: 

onde t é o ângulo e a e n constantes. Em coordenadas cartesianas, essa família de espirais deve utilizar equações paramétricas. A forma geral das equações é:

Cada espiral varia a e n.

Temos também a família da espiral logarítmica. Sua equação em cordendas polares é :

e a equação cartesiana é:

No Winplot, podemos fazer das duas maneiras. Em coordendas polares, escolhemos a janela 2-d, depois equação e por último polar, e teremos este resultado:

E, para fazer em coordendas cartesianas, o tipo de equação é paramétrica:

Um dos resultados será este:

E com isso, é possível explorar as espirais no Winplot.

Fonte: Texto de Alice Ribeiro Paz da Rosa, pela Pró-Reitoria de Extensão da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/trabalho_winplot/index.htm

O Problema das Abelhas.

Afirma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre as abelhas, que esses animais na construção de seus alvéolos, resolvem um problema de alta matemática.
Há nessa asserção certo exagero do escritor belga. O problema que as abelha resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os rescursos da matemática elementar.
Não nos importa, porém, saber se o problema é elementar ou transcendente, a verdade é que esses pequeninos e laboriosos insetos resolvem um interessantíssimo problema por um artifício que chega a deslumbrar a inteligência humana.
Todos sabem que a abelha constrói seus alvéolos para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. A abelha procura, portanto, obter uma forma de alvéolos que seja a mais econômica possível, isto é, que apresente maior volume para a menor porção de material empregado.
É preciso que a parede de um alvéolo sirva, também, ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria a um alvéolo.
Procuraram as abelhas uma forma prismática para os seus alvéolos. Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício são: o triangular, o quadrangular e o hexagonal. Foi este último que as abelhas escolheram. E sabem por quê? Porque dos três prismas regulares A, B e C construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

Eis o problema resolvido pelas abelhas :
Dados três prismas regulares da mesma altura A (triangular), B (quadrangular), C (hexagonal), tendo a mesma área lateral, qual é o que tem maior volume?

Uma vez determinada a forma dos alvéolos, era preciso fechá-los, isto é, determinar o meio mais econômico de cobrir os alvéolos.
A forma adotada foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é contituído de três losangos iguais (a adoção do fundo romboidal traz, sobre o de fundo plano, uma economia de um alvéolo em cada 50 que são construídos).
Maraldi, astrônomo do Observatório de Paris, determinou experimentalmente, com absoluta precisão, os ângulos desse losango e achou 109°28', para o ângulo obtuso, e 70°32', para o ângulo agudo.
O físico Réaumur, supondo que as abelhas eram guiadas na construção dos alvéolos por um princípio de economia, propôs ao geômetra alemão Koening, em 1739, o seguinte problema:
Entre todas as células hexagonais, com o fundo formado de três losangos, determinar a que seja contruída com a maior economia de material.
Koening, que não reconhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109°26' para o ângulo obtuso e 70°34' para o ângulo agudo.
A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por Koening era espantosa. Os geômetras concluíram que as abelhas cometiam, na construção de seus alvéolos, um erro de 2' no ângulo do losango de fechamento (essa diferença é tão pequena que só pode ser apreciada com auxílio de instrumento de precisão).
Concluíram os homens de ciência que as abelhas erravam mas entre o alvéolo que construíam e o alvéolo matematicamente certo havia uma diferença extremamente pequena.
Fato curioso! Alguns anos depois (1743), o geômetra Mac Laurin retomou novamente o problema e demonstrou que Koening havia errado e que o resultado era traduzido precisamente pelos valores dos ângulos dados por Maraldi - 109°28' e 70°32',
A razão estava, pois, com as abelhas.

Fonte: Texto retirado do Livro Matemática Divertida e Curiosa, de Malba Tahan.

Geometria Fractal - Cartão Fractal.

A geometria fractal é não euclidiana, mas não nega o 5º Postulado de Euclides, basicamente a principal diferença da geometria fractal para a euclidiana é a dimensão fractal, que ao contrário da euclidiana pode ser fracionária.

Dentre as principais características dos fractais é possível citar:
* Auto-similaridade - um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior;
* Complexidade infinita - qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fractal, nunca obteremos a imagem final;
* Irregularidade - no sentido de rugosidade ou fragmentação;
* Dimensão - possui geralmente dimensão não inteira, que quantifica o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.
Para se trabalhar com esta geometria no âmbito escolar e interessante abordar questões que chamem a atenção do aluno, como por exemplo, o cartão fractal, que se constitui de recortes e dobraduras.
1) Pegue uma folha de tamanho A4;
2) Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura;

3) Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos;

4) Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na obra;

5) Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em relevo;

5) Para obter as próximas iterações, devemos proceder da mesma forma, porém em uma escala menor, apenas na região dobrada.

6) Dobre o retângulo para cima fazendo um vinco na dobra;

 

7) Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo.

8) Para obter mais gerações, é necessário repetir esse processo.

Através desta atividade, é possível observar que a cada novo corte e dobradura, obtemos novos paralelepípedos. E desta forma é possível estabelecer uma relação entre o número de iterações e os novos paralelepípedos obtidos, ou então explorar o volume de cada paralelepípedo gerado em diferentes iterações.

Fonte: Fractais no ensino fundamental: explorando essa nova geometria.

Programas computacionais e Geometria.

A inserção de novas tecnologias no âmbito educacional é algo que vem se consolidando, e hoje se apresenta como uma importante ferramenta para o ensino, principalmente para com o ensino da Matemática. Este avanço tecnológico não pode ser visto como algo que vai salvar o ensino em matemática, mas certamente tende a contribuir, como por exemplo, no ensino da geometria. Possibilitando a visualição, a manipulação e a interação com objetos geométricos.

King e Schattshneider (1997), apontam alguns dos principais benefícios e aplicações de um sistema computacional de Geometria Dinâmica:

(i) A construção, manipulação e a transformação de objetos espaciais que permitem aos
usuários explorar a geometria, de forma que novas relações e propriedades sejam descobertas.
(ii) O desenvolvimento do conhecimento do espaço: planificação de sólidos geométricos, bem
como o cálculo de áreas e volumes em espaços virtuais.
O software Cabri 3D, é um instrumento que possibilita a construção de sólidos geométricos, o cálculo de áreas e volumes, bem como a manipulação dos sólidos possibilitando visualização por diferentes ângulos. Esta mobilidade contribui para que os alunos possam interagir com as formas geométricas, e possam dar um tratamento adequado a cada uma delas.
O software Cabri Geomètre também possui a interatividade como característica, na medida em que possibilita criar, explorar figuras geométricas através da construção de pontos, retas, triângulos, entre outros.

Último Teorema de Fermat.

Pierre de Fermat (1601 - 1665), matemático francês extremamente respeitado em seu tempo, devido a suas obras e descobertas. Em 1995, ele voltou a ser popular com a aceitação pela comunidade científica da prova dada pelo matemático inglês Andrew Wiles ao famoso "último teorema de Fermat". Mas afinal, do que se trata essa conjectura?
É fácil verificar que existem três números inteiros positivos, tais que o quadrado de um deles é igual a soma dos quadrados dos outros dois. Exemplo: 5² = 3² + 4². O mesmo não acontece com os cubos. Não há números inteiros positivos x, y e z, tais que z³ = x³ + y³. Fermat provou esse resultado e os matemáticos também não tiveram dificuldades em demonstrar o mesmo resultado. Fermat, porém foi adiante e anunciou que para qualquer número natural n, maior do que 2, não há inteiros positivos x, y e z, tais que zn = xn + yn. Ou seja o resultado só vale para n = 2 (ou n = 1). Fermat, por volta de 1630, anotou na margem de um livro que tinha uma prova maravilhosa para esse problema. Mas não esclareceu qual era. O enigma durou até até 1995, quando o inglês Wiles conseguiu apresentar uma demonstração aceita por todos como correta. É considerado um dos mais importantes resultados da hisória da Matemática.

Fonte: Ana Catarina P. Hellmeister, professora da USP.

Torre de Hanói.

Torre de Hanói é um jogo que foi inventado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883, que constitui-se basicamente de uma base com três pinos dispostos, sendo que um desses pinos possui 8 discos empilhados de forma crescente. O objetivo é transferir os oito discos para outro pino, movendo um disco de cada vez, e nunca colocando um disco maior em cima de um menor.

Dentro do ambiente escolar, mas especificamente nas aulas de matemática, este jogo pode ser uma maneira de iniciar conteúdos, como por exemplo progressão geométrica.
Num primeiro momento é conveniente que o professor deixe os alunos manusearem o jogo, para que se familiarizem com o mesmo. E em seguida, é conveniente que o professor direcione os passos que os alunos devem seguir, como por exemplo, pedir que movimentem um disco do primeiro para o segundo, depois que movimentem dois discos conforme a regra, para que compreendam de que forma devem ser os movimentos.
É conveniente então, questioná-los sobre a quantidade de movimentos necessários para transferir a torre toda (os oito discos) para outro pino, ou então se existe algums estratégia para realizar esta tarefa com o menor número de movimentos posíveis. Sendo possível então montar uma tabela referente ao número de movimentos para as peças, e desta forma abordar com os alunos conceitos, como por exemplo, de sequência, progressão geométrica e observar o crescimento de uma função exponencial.

Fonte: disponível em, http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf